Früher (ich schätze vielleicht so vor 4-5 Jahren) gab es immer einen Stempel in den Pass bei der Einreise. Mittlerweile (zum Glück) eben den erwähnten Zettel, den man nach Ausreise wegwerfen kann.
Mir wurde damals vom Auswärtigen Amt empfohlen, einen zweiten Pass zu beantragen, den es auch mit dieser Erklärung problemlos gibt.
Ich würde auf jeden Fall sicher gehen und einen zweiten Reisepass beantragen.